Quaternion

La note

Un quaternion est un type de nombre hypercomplexe qui généralise les nombres réels et complexes en mathématiques, et permet de travailler avec quatre composantes réelles plutôt que deux comme pour les complexes.wikipedia+2

Définition mathématique

Un quaternion s’écrit généralement sous la forme :

q = a + b i + c j + d k

où a, b, c et d sont des nombres réels, et i,j,k sont des unités imaginaires vérifiant les règles suivantes :

i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1

i j = k, j k = i, k i = j

j i = - k, k j = - i, i k = - j

La multiplication des quaternions n'est pas commutative, contrairement aux réels ou aux complexes.

Histoire et Utilité

Les quaternions ont été introduits en 1843 par le mathématicien William Rowan Hamilton. Ils permettent, contrairement aux complexes, de représenter facilement des rotations dans l'espace tridimensionnel, ce qui est utilisé en informatique graphique, robotique et physique pour gérer les rotations et orientations.

Propriétés et utilisation

Un quaternion peut être vu comme une somme d'une partie réelle aa (scalaire) et une partie imaginaire pure $b i + c j + d k$ (vectorielle).wikipedia
Ils forment une algèbre de division associative, mais non commutative.
Les quaternions unitaires (norme = 1) sont particulièrement utiles, car ils représentent les rotations 3D sans les problèmes d'ambiguïté ou de gimbal lock présents avec d'autres outils comme les angles d’Euler.

Domaine d’application

Représentation et interpolation de rotations en 3D (graphiques 3D, animation, réalité virtuelle, robotique).
Mathématiques pures et algèbres non commutatives.
Physique pour décrire certains phénomènes liés à la rotation.

Références

Flashcards